数学得意な人きて（方程式）
- 日時： 2012/08/17 13:02
- 名前： ああ
a^3ーb^3＝2をみたす整数解は存在しないらしいけど、これ証明できる人いる？
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Re: 数学得意な人きて（方程式）( No.1 )
- 日時： 2012/08/17 13:03
- 名前： ああ
習ってませ〜ん
Re: 数学得意な人きて（方程式）( No.2 )
- 日時： 2012/08/17 13:08
- 名前： ガロヤ（▼/▼メ）〜＊◆SF/h0E/R2g <<<<<<○>>>>>>
- URL： 真実と言う名の輝きを、嘘と言う名の泥で塗り固める。それがポケガイの「ああ」。
顔文字なら
a（^3^）
Re: 数学得意な人きて（方程式）( No.3 )
- 日時： 2012/08/17 13:31
- 名前： ああ
aーb＝1、2で場合分けしてa^2＋ab＋b^2＝2、1に実数解が存在しないことを言えばいい
初等的に二次方程式の判別式からもできるが、それじゃつまらないから別の方法で
1の3乗根のうち虚数であるものをωとすると
a^2＋ab＋b^2＝（aーbω）（aーbω^2）
アイゼンシュタイン整数Z[ω]はユークリッド整域であるので素元分解を一意的に行うことができる
（1）aーb＝2であるとき
（aーbω）（aーbω^2）＝1となるから、aーbωはZ[ω]の単数となる
Z[ω]の単数は±1、±ω、±ω^2なので、考えられる整数a、bの組み合わせは（±1、0）、（0、±1）となる
ところがこれらの何れもaーb＝2をみたさないで不合理
Re: 数学得意な人きて（方程式）( No.4 )
- 日時： 2012/08/17 13:32
- 名前： ああ
aーb＝1、2で場合分けしてa^2＋ab＋b^2＝2、1に実数解が存在しないことを言えばいい
（2）aーb＝1であるとき
（aーbω）（aーbω^2）＝2となる
このときaーbωとaーbω^2は互いに素となる、これは鳩ノ巣原理に由来する
したがってaーbωかaーbω^2の何れかが2と同伴になるので、もう片方は1と同伴になる
aーbω^2が2と同伴である場合、両辺を2で割ることによりaーbωが単数となることがわかる
先の議論とaーb＝1であることから、考えられるa、bの組み合わせは（1、0）、（0、ー1）のみであるが、これらは何れも（aーbω）（aーbω^2）＝2をみたさない
同様にしてaーbωが2と同伴である場合も整数a、bは存在しない
よってa^3ーb^3＝2をみたす整数解は存在しない
どうしても因数分解使ってやりたかったからこの方法選んだ
Re: 数学得意な人きて（方程式）( No.5 )
- 日時： 2012/08/17 13:38
- 名前： ああ
>>3
二次方程式の場合わけの方でやってみるわ
もう1つのやり方は知らない言葉がいっぱいあるから無理そう
Re: 数学得意な人きて（方程式）( No.6 )
- 日時： 2012/08/17 13:45
- 名前： ああ
もっとわかりやすく説明しろや
理系はまじで説明下手
Re: 数学得意な人きて（方程式）( No.7 )
- 日時： 2012/08/17 13:47
- 名前： ああ
>>5
アイゼンシュタイン整数ぐらいなら多分だけど大学受験用の整数の参考書にたぶんのってる
さすがにユークリッド整域とかまではのってないと思うが数学を入試とかで得点源にしたいなら知ってて損はないだろう
Re: 数学得意な人きて（方程式）( No.8 )
- 日時： 2012/08/17 13:48
- 名前： ああ
>>6
すまんな
化学専攻の俺はいろいろ端折りがち
Re: 数学得意な人きて（方程式）( No.9 )
- 日時： 2012/08/17 13:49
- 名前： ああ
どこ大？
Re: 数学得意な人きて（方程式）( No.10 )
- 日時： 2012/08/17 13:50
- 名前： ああ
>>9
医大を除けば関西で一番いいとこかな
Re: 数学得意な人きて（方程式）( No.11 )
- 日時： 2012/08/17 13:51
- 名前： ああ
京大すげー
Re: 数学得意な人きて（方程式）( No.12 )
- 日時： 2012/08/17 13:54
- 名前： ああ
ついでにとあるスレで見かけた問題だけど
x^3ーy^2＝1をみたす整数解も解いて
Re: 数学得意な人きて（方程式）( No.13 )
- 日時： 2012/08/17 14:19
- 名前： ああ
x^3ーy^2＝1 ⇔ x^3＝（y＋1）（yー1）
y＋1とyー1の最大公約数をdとすると、d＝1、2
（1）d＝1であるとき
y＋1、yー1は互いに素だから何れも立方数
よってy＋1＝a^3、yー1＝b^3とできる
これよりa^3ーb^3＝2 >>0の問題よりこれをみたす整数解は存在しない
（2）d＝2であるとき
y＋1＝2a^3、yー1＝4b^3とできる場合と（a、bは奇数）
y＋1＝4b^3、yー1＝2a^2とできる場合の2通りがあある
これよりa^3ー2b^3＝±1であることがわかる
左辺を因数分解する。2^（1/3）＝θとすると
（aーbθ）（a^2＋abθ＋b^2θ^2）＝±1
したがってaーbθは純三次体Z[θ]＝a＋bθ＋cθ^2（a、b、c∈Z）の単数となる
ここで次の補題を用意する
Z[θ]の単数は全て±（1＋θ＋θ^2）^k （k∈Z）の形で表すことができる
Re: 数学得意な人きて（方程式）( No.14 )
- 日時： 2012/08/17 14:20
- 名前： ああ
【証明】
証明する際に次の定理を前提とする（証明は難しいからここでは省略）
1°.ディリクレの単数定理 ある代数体Kの次数をnとし、r[1]、2r[2]をそれぞれ実、虚共役体とする。このときKはr[1]＋r[2]ー1個の基本単数を持つ
※基本単数とは単数群の生成元となるもの
2°.アルティンの定理
ε[0]を判別式が負となる三次体Kの基本単数としたとき
│d（K）│＜4ε[0]^3＋24となる （d（K）はKの判別式）
補題はつまり、Z[θ]の単数群の生成元が1＋θ＋θ^2であることを主張している
これを証明する
1°よりZ[θ]は実共役体1つ、虚共役体2つを持つので1＋1ー1＝1個の基本単数を持つ
1＋θ＋θ^2はZ[θ]の単数なので、Z[θ]の基本単数をε[0]とした場合
1＋θ＋θ^2＝±ε[0]^kをみたす整数kiが存在する
ここで計算過程は省略するが（d（Z[θ]））＝108だから、2°の定理より
108＜4ε[0]^3＋24
2.75^3＜21＜ε[0]^3であるから
7.5625＝（2.75）^2＜（21^2）^（1/3）＜ε[0]^2
1＋θ＋θ^2＜1＋2＋4＝7であるから
ε[0]≦1＋θ＋θ＜ε[0]^2が成り立つ
したがってk＝1であることがわかったので1＋θ＋θ^2はZ[θ]の基本単数 証明終わり
Re: 数学得意な人きて（方程式）( No.15 )
- 日時： 2012/08/17 14:20
- 名前： ああ
ここから本題に戻る
aーbθはZ[θ]の単数となるのであった
補題よりすべての単数は±（1＋θ＋θ^2）^kの形で表されるのだから
aーbθ＝±（1＋θ＋θ^2）^mをみたす整数mが存在するはずである
左辺にはθ^2の係数が存在しないので右辺にもθ^2の係数が存在しないことになる
よってm＝0となることがわかるので
aーbθ＝±1 このことからa＝±1、b＝0
ところがbは奇数であるという条件があったのでこれは不合理
以上からx^3ーy^2＝1をみたす整数解が存在しないことが言えた
さすがに疲れた
Re: 数学得意な人きて（方程式）( No.16 )
- 日時： 2012/08/17 14:21
- 名前： まさっち◆koTOKOroGo
（これ以上ないドヤ顔）
Re: 数学得意な人きて（方程式）( No.17 )
- 日時： 2012/08/17 14:22
- 名前： ああ
>>2
どやっ
きみには一生わからないだろうね
Re: 数学得意な人きて（方程式）( No.18 )
- 日時： 2012/08/17 14:24
- 名前： ああ
京大現役で入った？学部は？
Re: 数学得意な人きて（方程式）( No.19 )
- 日時： 2012/08/17 14:25
- 名前： ああ
現役で農学部
まだ一回生だけどな
Re: 数学得意な人きて（方程式）( No.20 )
- 日時： 2012/08/17 14:28
- 名前： ああ
よくわからんがすげー
解ないのかー
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